[LeetCode]Climbing Stairs

题目描述：

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

题目大意：

你正在爬楼梯。爬到顶部需要n步。

每一次你爬1步或者2步。爬到顶部有多少种不同的方式？

解题思路：

问题的本质是求斐波那契数列（Fibonacci Sequence）

递推式为：dp[x] = dp[x - 1] + dp[x - 2]

Python代码：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = dp[1] = 1
        for x in range(2, n + 1):
            dp[x] = dp[x - 1] + dp[x - 2]
        return dp[n]

上述代码的空间复杂度可以化简为O(1)：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        a = b = 1
        for x in range(2, n + 1):
            a, b = b, a + b
        return b

另外，也可以使用斐波那契数列的通项公式求解：

a_n = [ Phiⁿ - (phi)ⁿ ]/Sqrt[5].

其中，Phi=(1+Sqrt[5])/2，phi=(1-Sqrt[5])/2

Python代码：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        sqrt5 = math.sqrt(5)
        Phi = (1 + sqrt5) / 2
        phi = (1 - sqrt5) / 2
        return int((Phi ** (n + 1) - phi ** (n + 1)) / sqrt5)